ધારો કે alpha = sum_{k=1}^{infty} sin^{2k}lef | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\in

Vedclass · Accepted Answer

$A, B, C$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/4$ છે.$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.તેથી,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.ધારો કે $u = 2^{x/3}$. કારણ કે $x \in [0, 1]$,તેથી $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.તો $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ લેતા $u^2 = 2^{1/3}$ મળે,તેથી $u = 2^{1/6}$.કારણ કે $2^{1/6} \approx 1.12$ અને $2^{1/3} \approx 1.26$,નિર્ણાયક બિંદુ $u = 2^{1/6}$ એ અંતરાલ $[1, 2^{1/3}]$ માં આવેલું છે.$u = 2^{1/6}$ પર,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.અંતિમ બિંદુઓ $u = 1$ અને $u = 2^{1/3}$ પર,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ અને $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.તેથી,મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર પ્રાપ્ત થાય છે.તેથી,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.

Similar Questions

$[0, \pi]$ અંતરાલ પર $f(x) = \sin 2x - x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્યો શોધો.

આપેલ પરિમિતિ માટે,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module