मान लीजिए alpha = sum_{k=1}^{infty} sin^{2k}l | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\i

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$A, B, C$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1/4$ और सार्व अनुपात $r = 1/4$ है।$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.अतः,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.मान लीजिए $u = 2^{x/3}$. चूँकि $x \in [0, 1]$,इसलिए $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.तब $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ रखने पर $u^2 = 2^{1/3}$ प्राप्त होता है,अतः $u = 2^{1/6}$.चूँकि $2^{1/6} \approx 1.12$ और $2^{1/3} \approx 1.26$,क्रांतिक बिंदु $u = 2^{1/6}$ अंतराल $[1, 2^{1/3}]$ में स्थित है।$u = 2^{1/6}$ पर,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. यह न्यूनतम मान है।अंतिम बिंदुओं $u = 1$ और $u = 2^{1/3}$ पर,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ और $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.अतः,अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है,जो $x = 0$ और $x = 1$ पर प्राप्त होता है।इसलिए,कथन $(A)$,$(B)$,और $(C)$ सत्य हैं।

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