यदि फलन f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx के लिए अंतराल | vedclass

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Question

(B) अंतराल $[-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,$f(-1) = f(1)$ होना आवश्यक है।दिए गए $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए:$f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2

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$-1$

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(B) अंतराल $[-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के लिए,$f(-1) = f(1)$ होना आवश्यक है।दिए गए $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए:$f(1) = 2(1)^3 + b(1)^2 + c(1) = 2 + b + c$$f(-1) = 2(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) = -2 + b - c$$f(1) = f(-1)$ रखने पर:$2 + b + c = -2 + b - c$$2c = -4 \implies c = -2$साथ ही,रोले के प्रमेय के अनुसार $f'(c') = 0$ होता है जहाँ $c' \in (-1, 1)$। यहाँ $c' = \frac{1}{2}$ है।$f'(x) = 6x^2 + 2bx + c$$f'\left(\frac{1}{2}\right) = 6\left(\frac{1}{4}\right) + 2b\left(\frac{1}{2}\right) + c = 0$$\frac{3}{2} + b + c = 0$$c = -2$ रखने पर:$\frac{3}{2} + b - 2 = 0 \implies b - \frac{1}{2} = 0 \implies b = \frac{1}{2}$अंत में,$2b + c$ का मान:$2\left(\frac{1}{2}\right) + (-2) = 1 - 2 = -1$.

यदि फलन $f(x) = 2x^3 + bx^2 + cx$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ में $x = \frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है,तो $2b + c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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