मान लीजिए f:[a, b] rightarrow R, [a, b] पर अव | vedclass

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Question

(C) फलन $g(x) = e^{kx} f(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है और $e^{kx}$ हर जगह अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है।

Vedclass · Accepted Answer

$J(x)=0$ का $(a, b)$ में कम से कम एक मूल है

Vedclass · Answer

(C) फलन $g(x) = e^{kx} f(x)$ पर विचार करें। चूंकि $f(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है और $e^{kx}$ हर जगह अवकलनीय है, इसलिए $g(x)$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है।
दिया गया है कि $f(a) = 0$ और $f(b) = 0$, इसलिए $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ और $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ है।
चूंकि $g(a) = g(b) = 0$ है और $g(x)$, $[a, b]$ पर सतत है तथा $(a, b)$ पर अवकलनीय है, रोले के प्रमेय के अनुसार, कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा मौजूद है कि $g'(c) = 0$ हो।
अब, $g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$ है।
चूंकि $g'(c) = 0$ है, इसलिए $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि किसी भी $c$ के लिए $e^{kc} 
eq 0$ होता है, इसलिए $f'(c) + k f(c) = 0$ होना चाहिए।
अतः, कम से कम एक $c \in (a, b)$ के लिए $J(c) = 0$ है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$, $[a, b]$ पर अवकलनीय है और $k \in R$ है। मान लीजिए $f(a)=0=f(b)$ है। साथ ही मान लीजिए $J(x)=f'(x)+k f(x)$ है। तो

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