ધારો કે f:[a, b] rightarrow R એ [a, b] પર વિક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) વિધેય $g(x) = e^{kx} f(x)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $e^{kx}$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ એ $[a, b]$ પર વિક

Vedclass · Accepted Answer

$J(x)=0$ ને $(a, b)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે

Vedclass · Answer

(C) વિધેય $g(x) = e^{kx} f(x)$ ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $f(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $e^{kx}$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે, તેથી $g(x)$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે.
આપેલ છે કે $f(a) = 0$ અને $f(b) = 0$, તેથી $g(a) = e^{ka} f(a) = 0$ અને $g(b) = e^{kb} f(b) = 0$ મળે.
કારણ કે $g(a) = g(b) = 0$ અને $g(x)$ એ $[a, b]$ પર સતત છે અને $(a, b)$ પર વિકલનીય છે, રોલના પ્રમેય મુજબ, ઓછામાં ઓછું એક $c \in (a, b)$ એવું મળે કે જેથી $g'(c) = 0$ થાય.
હવે, $g'(x) = \frac{d}{dx} (e^{kx} f(x)) = k e^{kx} f(x) + e^{kx} f'(x) = e^{kx} (f'(x) + k f(x))$.
કારણ કે $g'(c) = 0$, તેથી $e^{kc} (f'(c) + k f(c)) = 0$ મળે.
કારણ કે કોઈપણ $c$ માટે $e^{kc} 
eq 0$, તેથી $f'(c) + k f(c) = 0$ થવું જ જોઈએ.
આમ, ઓછામાં ઓછા એક $c \in (a, b)$ માટે $J(c) = 0$ થાય છે.

ધારો કે $f:[a, b] \rightarrow R$ એ $[a, b]$ પર વિકલનીય છે અને $k \in R$ છે. ધારો કે $f(a)=0=f(b)$. વળી ધારો કે $J(x)=f'(x)+k f(x)$. તો

Similar Questions

જો વિધેય $f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$ અંતરાલ $[1, 3]$ માં રોલના પ્રમેયનું પાલન કરે છે અને $f'\left( \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}} \right) = 0$ હોય,તો $a = $ ..............

વિધેય $f(x) = \log_{e} x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) લાગુ પડે તે માટે $c$ ની કિંમત શોધો:

વિધેય $f(x) = e^{\cos x}$ માટે, રોલનું પ્રમેય

જો વિધેય $f(x) = ax^3 + bx^2 + 11x - 6$, જે $[1, 3]$ પર વ્યાખ્યાયિત છે, તે $c = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે રોલેના પ્રમેયની તમામ શરતોનું પાલન કરે છે, તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module