रेखाएँ vec{r} = vec{a} + lambdavec{b} और vec{ | vedclass

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Question

(A) चरण $1$: चूँकि रेखाएँ $(2, 4, -4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।चरण $2$: पहली रेखा के लिए, $\vec{a} + \la

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$5$

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(A) चरण $1$: चूँकि रेखाएँ $(2, 4, -4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं, बिंदु को दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।चरण $2$: पहली रेखा के लिए, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = (2, 4, -4)$। दूसरी रेखा के लिए, $\vec{b} + \mu\vec{a} = (2, 4, -4)$।चरण $3$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\vec{a} - \vec{b}) + (\lambda\vec{b} - \mu\vec{a}) = 0$। इसका अर्थ है $\vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$।चरण $4$: चूँकि रेखाएँ एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, $\vec{a} + \lambda\vec{b} = \vec{b} + \mu\vec{a} \implies \vec{a}(1 - \mu) = \vec{b}(1 - \lambda)$। यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख नहीं हैं, तो $1-\mu = 0$ और $1-\lambda = 0$, अतः $\lambda = 1$ और $\mu = 1$।चरण $5$: पहले समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$।चरण $6$: हमें $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$।चरण $7$: $\vec{a} + \vec{b} = (2, 4, -4)$ से, $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2^2 + 4^2 + (-4)^2 = 4 + 16 + 16 = 36$। अतः $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$।चरण $8$: दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b}) - (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36 - 16 \implies 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 20 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 5$।

रेखाएँ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{b} + \mu\vec{a}$ बिंदु $(2, 4, -4)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $|\vec{a} - \vec{b}| = 4$ है, तो $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ है

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माना कि $\vec{a} \times \vec{b} = 7 \hat{i} - 5 \hat{j} - 4 \hat{k}$ और $\vec{a} = \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है। यदि $\vec{a}$ पर $\vec{b}$ के प्रक्षेप की लंबाई $\frac{8}{\sqrt{14}}$ है,तो $|\vec{b}| = $

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