सूची Iसूची IIP. leq 2 घात वाले गैर-ऋणात्मक पू | vedclass

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Question

(D) $(P)$ मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx$,जहाँ $a, b \in \mathbb{W}$ (चूँकि $f(0)=0$ है)।$\int_0^1 (ax^2 + bx) dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implie

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$2 \quad 3 \quad 1 \quad 4$

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(D) $(P)$ मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx$,जहाँ $a, b \in \mathbb{W}$ (चूँकि $f(0)=0$ है)।$\int_0^1 (ax^2 + bx) dx = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 1 \implies 2a + 3b = 6$.संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल $(a, b)$ $(3, 0)$ और $(0, 2)$ हैं।अतः,ऐसे बहुपदों की संख्या $2$ है।$(Q)$ $f(x) = \sqrt{2} \sin(x^2 + \frac{\pi}{4})$.$f(x)$ अधिकतम होता है जब $x^2 + \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2} \implies x^2 = 2n\pi + \frac{\pi}{4}$.$n=0$ के लिए,$x^2 = \frac{\pi}{4} \in [0, 13)$.$n=1$ के लिए,$x^2 = 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \in [0, 13)$.$x^2$ के प्रत्येक मान के लिए $x$ के दो मान मिलते हैं $(\pm \sqrt{x^2})$,इसलिए कुल $4$ बिंदु मिलते हैं।$(R)$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx = \int_0^2 3x^2 (\frac{1}{1+e^x} + \frac{1}{1+e^{-x}}) dx = \int_0^2 3x^2 dx = [x^3]_0^2 = 8$.$(S)$ अंश $\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx$ है। $\cos 2x$ सम है और $\log(\frac{1+x}{1-x})$ विषम है,इसलिए उनका गुणनफल एक विषम फलन है। अतः समाकलन $0$ है।

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ $\leq 2$ घात वाले गैर-ऋणात्मक पूर्णांक गुणांकों वाले बहुपदों $f(x)$ की संख्या,जो $f(0)=0$ और $\int_0^1 f(x) dx=1$ को संतुष्ट करते हैं,है	$1.$ $8$
$Q.$ अंतराल $(-\sqrt{13}, \sqrt{13})$ में उन बिंदुओं की संख्या जहाँ $f(x)=\sin(x^2)+\cos(x^2)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है,है	$2.$ $2$
$R.$ $\int_{-2}^2 \frac{3x^2}{1+e^x} dx$ बराबर है	$3.$ $4$
$S.$ $\frac{\int_{-1/2}^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}{\int_0^{1/2} \cos 2x \log(\frac{1+x}{1-x}) dx}$ बराबर है	$4.$ $0$

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