दो सदिशों,$6\hat{i} + 7\hat{j}$ और $3\hat{i} + 4\hat{j}$ के योग से प्राप्त सदिश का परिमाण क्या है?

दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ के परिमाण क्रमशः $4$ इकाई और $3$ इकाई हैं। यदि ये सदिश $(i)$ समान दिशा में $(\theta = 0^{\circ})$ और $(ii)$ विपरीत दिशा में $(\theta = 180^{\circ})$ हों,तो प्रत्येक स्थिति में परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए।

कथन $I:$ दो बल $(\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q})$ और $(\overrightarrow{P}-\overrightarrow{Q})$,जहाँ $\overrightarrow{P} \perp \overrightarrow{Q}$,एक-दूसरे के साथ $\theta_{1}$ कोण पर कार्य करते हैं,तो उनके परिणामी का परिमाण $\sqrt{3(P^{2}+Q^{2})}$ है। जब वे $\theta_{2}$ कोण पर कार्य करते हैं,तो उनके परिणामी का परिमाण $\sqrt{2(P^{2}+Q^{2})}$ हो जाता है। यह केवल तभी संभव है जब $\theta_{1} < \theta_{2}$ हो।
कथन $II:$ ऊपर दी गई स्थिति में,$\theta_{1} = 60^{\circ}$ और $\theta_{2} = 90^{\circ}$ है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें।

दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $\theta$ कितना होना चाहिए ताकि परिणामी सदिश का परिमाण न्यूनतम हो ($^{\circ}$ में)?

पाँच सदिश हैं,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $8$ इकाई है। ये सदिश चित्र में दिखाए अनुसार एक नियमित पंचकोण बनाते हैं। परिणामी सदिश का परिमाण ज्ञात कीजिए।

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के संदर्भ में,तीन सदिशों को $\vec a = 4\hat i - \hat j$,$\vec b = -3\hat i + 2\hat j$ और $\vec c = -\hat k$ के रूप में व्यक्त किया गया है,जहाँ $\hat i, \hat j, \hat k$ क्रमशः $X, Y$ और $Z$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश हैं। इन सदिशों के योग की दिशा में इकाई सदिश $\hat r$ क्या है?