निम्नलिखित का मिलान करें: List-IList-III. int | vedclass

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Question

(I-D, II-A, III-E, IV-C) सही मिलान इस प्रकार हैं: $I. \int_{-1}^1 x|x| dx = 0$ (क्योंकि $f(x) = x|x|$ एक विषम फलन है, अर्थात $f(-x) = -x|-x| = -x|x| =

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(I-D, II-A, III-E, IV-C) सही मिलान इस प्रकार हैं: $I. \int_{-1}^1 x|x| dx = 0$ (क्योंकि $f(x) = x|x|$ एक विषम फलन है, अर्थात $f(-x) = -x|-x| = -x|x| = -f(x)$)। अतः, $I ightarrow (d)$। $II. 	ext{माना } I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}ight) dx$। गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है: $I = \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}ight) dx$। $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^{\pi/2} \left(2 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x} \cdot \frac{4+3\cos x}{4+3\sin x}ight)ight) dx = \int_0^{\pi/2} (2 + \log 1) dx = \int_0^{\pi/2} 2 dx = \pi$। इसलिए, $I = \frac{\pi}{2}$। अतः, $II ightarrow (a)$। $III. \int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ निश्चित समाकलनों का एक मानक गुणधर्म है। अतः, $III ightarrow (e)$। $IV. \int_{-a}^a f(x) dx = \int_{-a}^0 f(x) dx + \int_0^a f(x) dx$। पहले समाकलन में $x = -t$ रखने पर, $dx = -dt$। $\int_{-a}^0 f(x) dx = \int_a^0 f(-t) (-dt) = \int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx$। अतः, $\int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a f(-x) dx + \int_0^a f(x) dx = \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$। अतः, $IV ightarrow (c)$।

List-$I$	List-$II$
$I. \int_{-1}^1 x\|x\| dx$	$(a) \frac{\pi}{2}$
$II. \int_0^{\pi/2} \left(1 + \log \left(\frac{4+3\sin x}{4+3\cos x}\right)\right) dx$	$(b) \int_0^a 2f(x) dx$
$III. \int_0^a f(x) dx$	$(c) \int_0^a [f(x) + f(-x)] dx$
$IV. \int_{-a}^a f(x) dx$	$(d) 0$
	$(e) \int_0^a f(a-x) dx$

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