निम्नलिखित का मिलान करें: (A) f: R right | vedclass

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Question

(A) फलन $f: R ightarrow R$ के लिए जो $f(x)=px+q$ $(p 
eq 0)$ द्वारा परिभाषित है,यह एक रैखिक फलन है। रैखिक फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर ए

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$(A)-II, (B)-IV, (C)-III, (D)-I$

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(A) फलन $f: R ightarrow R$ के लिए जो $f(x)=px+q$ $(p 
eq 0)$ द्वारा परिभाषित है,यह एक रैखिक फलन है। रैखिक फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर एकैकी-आच्छादक (bijection) होते हैं। अतः,$A ightarrow II$.$(B)$ फलन $f: R ightarrow R^{+} \cup \{0\}$ के लिए जो $f(x)=x^2$ द्वारा परिभाषित है,हम देखते हैं कि $f(-1)=f(1)=1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। हालाँकि,प्रत्येक $y \in R^{+} \cup \{0\}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x)=y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$B ightarrow IV$.$(C)$ $f: N ightarrow N$ के लिए जो $f(n)=n^2+2n+3$ द्वारा परिभाषित है,यह एकैकी है क्योंकि $f(n_1)=f(n_2) \implies n_1^2+2n_1+3 = n_2^2+2n_2+3 \implies (n_1-n_2)(n_1+n_2+2)=0$,जिसका अर्थ है $n_1=n_2$ जहाँ $n \in N$ है। यह आच्छादक नहीं है क्योंकि $f(n)=3$ के लिए,$n^2+2n+3=3 \implies n(n+2)=0$,जो $n=0$ या $n=-2$ देता है,जिनमें से कोई भी $N$ में नहीं है। अतः,$C ightarrow III$.$(D)$ $f: R ightarrow R$ के लिए जो $f(x)=2(\cos^2 5x + \sin^2 5x) = 2(1) = 2$ द्वारा परिभाषित है। यह एक अचर फलन है। एक अचर फलन न तो एकैकी होता है और न ही आच्छादक। अतः,$D ightarrow I$.अतः,सही मिलान $(A)-II, (B)-IV, (C)-III, (D)-I$ है।

$(A)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$,$\forall x \in R$	$I.$ $f$ न तो एकैकी है और न ही आच्छादक
$(B)$ $f: R \rightarrow R^{+} \cup\{0\}$ इस प्रकार है कि $f(x)=x^2$,$\forall x \in R$	$II.$ $f$ एकैकी और आच्छादक दोनों है
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार है कि $f(n)=n^2+2n+3$,$\forall n \in N$	$III.$ $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार है कि $f(x)=2(\cos ^2 5x+\sin ^2 5x)$ $\forall x \in R$	$IV.$ $f$ आच्छादक है लेकिन एकैकी नहीं है
	$V.$ $f$ एक अचर फलन है और एकैकी-आच्छादक भी है

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