पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के $50 \%$ के बराबर गति से प्रक्षेपित रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई क्या है? ($R$ - पृथ्वी की त्रिज्या)

एक ग्रह पर $1\, kg$ द्रव्यमान वाली वस्तु का पलायन वेग $100\, m/s$ है। ग्रह की सतह पर वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ......... $J$ है।

एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के एक-तिहाई वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर प्रक्षेपित किया जाता है। पिंड द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $...... \ km$ होगी। (पृथ्वी की त्रिज्या $R = 6400 \ km$ और $g = 10 \ m/s^2$ लें)

यदि किसी ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुना है और दोनों के लिए $g$ का मान समान है,तो ग्रह पर पलायन वेग (escape velocity) ......... $km/s$ होगा।

एक गोली को एक गोलाकार ग्रह की सतह से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। जब यह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,तो ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के कारण इसका त्वरण सतह पर इसके मान का $1/4$ होता है। यदि ग्रह से पलायन वेग $v_{esc} = v \sqrt{N}$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए (वायुमंडल के कारण ऊर्जा हानि को अनदेखा करें)।

ग्रह $A$ पर एक पिंड का पलायन वेग $12 \, km/s$ है। दूसरे ग्रह $B$ पर उस पिंड का पलायन वेग क्या होगा,जिसका घनत्व ग्रह $A$ से चार गुना और त्रिज्या आधी है?