उद्देश्य फलन $Z = 3x + 2y$ का न्यूनतमीकरण कीजिए,जिसके लिए प्रतिबंध हैं: $x + y \geq 8$,$x + y \leq 5$,$x \geq 0$,$y \geq 0$.

एक बीमार व्यक्ति के आहार में कम से कम $4000$ इकाई विटामिन,$50$ इकाई प्रोटीन और $1400$ कैलोरी होनी चाहिए। दो खाद्य पदार्थ $A$ और $B$ क्रमशः ₹ $4$ और ₹ $3$ प्रति इकाई की लागत पर उपलब्ध हैं। यदि $A$ की एक इकाई में $200$ इकाई विटामिन,$1$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,जबकि खाद्य $B$ की एक इकाई में $100$ इकाई विटामिन,$2$ इकाई प्रोटीन और $40$ कैलोरी होती है,तो समस्या को इस प्रकार तैयार करें कि आहार सबसे सस्ता हो।

एक निर्माता के पास अपनी फैक्ट्री में तीन मशीनें $I, II$ और $III$ हैं। मशीन $I$ और $II$ को अधिकतम $12 \, \text{घंटे}$ तक चलाया जा सकता है,जबकि मशीन $III$ को दिन में कम से कम $5 \, \text{घंटे}$ चलाना आवश्यक है। वह केवल दो वस्तुएं $M$ और $N$ बनाती है,जिनमें से प्रत्येक को तीनों मशीनों के उपयोग की आवश्यकता होती है। तीनों मशीनों पर $M$ और $N$ की $1$ इकाई बनाने के लिए आवश्यक घंटों की संख्या नीचे दी गई तालिका में दी गई है:

वस्तुएं	मशीन $I$	मशीन $II$	मशीन $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

वह वस्तुओं $M$ और $N$ पर क्रमशः $Rs. \, 600$ और $Rs. \, 400$ का लाभ कमाती है। उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी इकाइयों का उत्पादन करना चाहिए ताकि उसका लाभ अधिकतम हो,यह मानते हुए कि वह उत्पादित सभी वस्तुओं को बेच सकती है? अधिकतम लाभ क्या होगा?

किसानों की एक सहकारी समिति के पास दो फसलों $X$ और $Y$ को उगाने के लिए $50$ हेक्टेयर भूमि है। फसलों $X$ और $Y$ से प्रति हेक्टेयर लाभ का अनुमान क्रमशः रु. $10,500$ और रु. $9,000$ है। खरपतवार को नियंत्रित करने के लिए,फसलों $X$ और $Y$ के लिए प्रति हेक्टेयर $20$ लीटर और $10$ लीटर की दर से तरल शाकनाशी (herbicide) का उपयोग किया जाना है। इसके अलावा,इस भूमि से जल निकासी एकत्र करने वाले तालाब में मछलियों और वन्यजीवों की सुरक्षा के लिए $800$ लीटर से अधिक शाकनाशी का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। समिति के कुल लाभ को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक फसल के लिए कितनी भूमि आवंटित की जानी चाहिए?

एक थोक व्यापारी $Rs \ 24000$ के साथ अनाज का व्यवसाय शुरू करना चाहता है। गेहूं की कीमत $Rs \ 400$ प्रति क्विंटल और चावल की कीमत $Rs \ 600$ प्रति क्विंटल है। उसके पास $200$ क्विंटल अनाज भंडारण करने की क्षमता है। वह गेहूं पर $Rs \ 25$ प्रति क्विंटल और चावल पर $Rs \ 40$ प्रति क्विंटल का लाभ कमाता है। यदि वह $x$ क्विंटल चावल और $y$ क्विंटल गेहूं का भंडारण करता है,तो अधिकतम लाभ के लिए उद्देश्य फलन (objective function) क्या है?

एक कुटीर उद्योग पेडस्टल लैंप और लकड़ी के शेड का निर्माण करता है,जिनमें से प्रत्येक के लिए ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन और स्प्रेयर के उपयोग की आवश्यकता होती है। एक पेडस्टल लैंप बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $2 \text{ घंटे}$ और स्प्रेयर पर $3 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। एक शेड बनाने में ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन पर $1 \text{ घंटा}$ और स्प्रेयर पर $2 \text{ घंटे}$ का समय लगता है। किसी भी दिन,स्प्रेयर अधिकतम $20 \text{ घंटे}$ और ग्राइंडिंग/कटिंग मशीन अधिकतम $12 \text{ घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री से लाभ $Rs. 5$ है और एक शेड से लाभ $Rs. 3$ है। यह मानते हुए कि निर्माता अपने द्वारा उत्पादित सभी लैंप और शेड बेच सकता है,उसे अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए अपने दैनिक उत्पादन को कैसे निर्धारित करना चाहिए?