ગણ $\{a, b\}$ પર દ્વિ-ક્રિયાઓની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $A = \{a, b, c\}$ હોય,તો $A$ પરની દ્વિ-ક્રિયાઓની (binary operations) સંખ્યા કેટલી થાય?

શું ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત $^*$ એ દ્રીક ક્રિયા છે? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.

સાબિત કરો કે $R$ પર સરવાળા માટે $0$ તટસ્થ ઘટક છે અને $R$ પર ગુણાકાર માટે $1$ તટસ્થ ઘટક છે. પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div : R_* \times R_* \rightarrow R_*$ ક્રિયાઓ માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક નથી.

ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિક્રિયા $^*$ ને $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{જો } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{જો } a+b \geq 6 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો. સાબિત કરો કે $0$ એ આ ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક છે અને ગણનો દરેક ઘટક $a \neq 0$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે,જ્યાં $6-a$ એ $a$ નો વ્યસ્ત છે.

નીચેનામાંથી કયું વિધાન અસત્ય છે?