समुच्चय $\{a, b\}$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं (binary operations) की संख्या है

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

मान लीजिए कि $P$ एक दिए गए समुच्चय $X$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। दर्शाइए कि $(A, B) \rightarrow A \cup B$ द्वारा परिभाषित $\cup: P \times P \rightarrow P$ और $(A, B) \rightarrow A \cap B$ द्वारा परिभाषित $\cap: P \times P \rightarrow P$ समुच्चय $P$ पर द्विआधारी संक्रियाएं हैं।

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए: यदि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक क्रमविनिमेय (commutative) द्विआधारी संक्रिया है,तो $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.

सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

$N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ को $a * b = a^{3} + b^{3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सही उत्तर चुनें।