સમીકરણોની સિસ્ટમ int_{a}^{b} x^{3} dx = 0 અને | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:$1$) $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$$2$) $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$પ્રથમ સમીકરણ ઉકેલતા:$\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:$1$) $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$$2$) $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$પ્રથમ સમીકરણ ઉકેલતા:$\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{a}^{b} = 0 \Rightarrow \frac{b^{4}-a^{4}}{4} = 0 \Rightarrow b^{4} = a^{4}$આનો અર્થ એ છે કે $b = a$ અથવા $b = -a$.કિસ્સો $1$: જો $b = a$ હોય,તો $\int_{a}^{a} x^{2} dx = 0$,જે $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.કિસ્સો $2$: જો $b = -a$ હોય,તો બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:$\int_{a}^{-a} x^{2} dx = \frac{2}{3}$$\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{a}^{-a} = \frac{2}{3}$$\frac{(-a)^{3} - a^{3}}{3} = \frac{2}{3}$$\frac{-a^{3} - a^{3}}{3} = \frac{2}{3}$$-2a^{3} = 2 \Rightarrow a^{3} = -1 \Rightarrow a = -1$કારણ કે $b = -a$,તેથી $b = 1$.આમ,માત્ર એક જ ક્રમયુક્ત જોડી $(a, b) = (-1, 1)$ છે જે આ સિસ્ટમને સંતોષે છે.

સમીકરણોની સિસ્ટમ $\int_{a}^{b} x^{3} dx = 0$ અને $\int_{a}^{b} x^{2} dx = \frac{2}{3}$ ને એકસાથે સંતોષતી ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$\int_3^5 {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}}\,dx} $ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $f(x) = \int\limits_0^x {{e^{ - {t^2}}}dt} $ તમામ $x > 0$ માટે છે. તો તમામ $x > 0$ માટે:

જો $g(1) = g(2)$ હોય,તો $\int_{1}^{2} [f\{g(x)\}]^{-1} f'\{g(x)\} g'(x) dx$ નું મૂલ્ય શું થાય?

અંતરાલ $\left[ \frac{5\pi}{4}, \frac{4\pi}{3} \right]$ પર વિધેય $F(x) = \int_{5\pi /4}^x {(3\sin u + 4\cos u)\,du} $ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરીને $4$ સમાન અંતરાલો સાથે $\int_{1}^{9} x^2 dx$ નું આશરે મૂલ્ય કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module