$3x^2 - 2x^3 = \log_2 (x^2 + 1) - \log_2 x$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

એક નળાકાર પાત્ર ચોક્કસ ઘન પદાર્થમાંથી નીચેની શરતો સાથે બનાવવાનું છે: તેનું આંતરિક કદ $V \ mm^3$ નિશ્ચિત છે,તેની દીવાલ $2 \ mm$ જાડી છે અને તે ઉપરથી ખુલ્લું છે. પાત્રનો તળિયું $2 \ mm$ જાડાઈની ઘન ગોળાકાર ડિસ્ક છે અને તેની ત્રિજ્યા પાત્રની બહારની ત્રિજ્યા જેટલી છે. જો પાત્ર બનાવવા માટે વપરાયેલ પદાર્થનું કદ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે પાત્રની આંતરિક ત્રિજ્યા $10 \ mm$ હોય,તો $\frac{V}{250 \pi}$ નું મૂલ્ય શોધો.

વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ ને તેના વ્યસ્તમાં ઉમેરતા,સરવાળાની ન્યૂનતમ કિંમત $x$ ની કઈ કિંમત માટે મળે?

વિધેય $f:R \to R$ માટે $x = a$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય હોવા માટેની પૂરતી શરતો કઈ છે?

$20$ એકમ લંબાઈના તારને બે ભાગમાં એવી રીતે વહેંચવામાં આવે છે કે જેથી એક ભાગ અને બીજા ભાગના ઘનનો ગુણાકાર મહત્તમ થાય. તો આ ભાગોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

ધારો કે $a > 0$. જો વિધેય $f(x) = 6x^3 - 45ax^2 + 108a^2x + 1$ તેના સ્થાનિક મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો અનુક્રમે $x_1$ અને $x_2$ બિંદુઓ પર પ્રાપ્ત કરે છે,જેથી $x_1x_2 = 54$ થાય,તો $a + x_1 + x_2$ ની કિંમત શોધો: