એક નળાકાર પાત્ર ચોક્કસ ઘન પદાર્થમાંથી નીચેની શરતો સાથે બનાવવાનું છે: તેનું આંતરિક કદ $V \ mm^3$ નિશ્ચિત છે,તેની દીવાલ $2 \ mm$ જાડી છે અને તે ઉપરથી ખુલ્લું છે. પાત્રનો તળિયું $2 \ mm$ જાડાઈની ઘન ગોળાકાર ડિસ્ક છે અને તેની ત્રિજ્યા પાત્રની બહારની ત્રિજ્યા જેટલી છે. જો પાત્ર બનાવવા માટે વપરાયેલ પદાર્થનું કદ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે પાત્રની આંતરિક ત્રિજ્યા $10 \ mm$ હોય,તો $\frac{V}{250 \pi}$ નું મૂલ્ય શોધો.

વિધેય $f(x) = \frac{\log x}{x}, x > 0$ ની મહત્તમ કિંમત શું છે?

ધારો કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$. ધારો કે $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ $g(x) = 2^{\alpha x} + 2^{\alpha(1-x)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2^{7/6}$ છે
$(B)$ $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે
$(C)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
$(D)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં અંતર્ગત સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધો,જેનો એક શિરોબિંદુ મુખ્ય અક્ષના એક છેડે છે.

જો $500 \ ft$. નો રનિંગ ટ્રેક એક રમતનું મેદાન ઘેરીને બનાવવાનો હોય,જેનો આકાર લંબચોરસ છે અને દરેક છેડે અર્ધવર્તુળ છે,તો લંબચોરસ ભાગની લંબાઈ કેટલી હશે જેથી લંબચોરસ ભાગનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય (ફૂટમાં)?

$a$ વ્યાસ ધરાવતા ગોળામાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા લંબવૃત્તીય શંકુની ઊંચાઈ કેટલી થાય?