વર્તુળ $x^2 + y^2 = 3$ ને સ્પર્શતા અને ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 = 36$ ને અભિલંબ હોય તેવા સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

$P$ એ ઉપવલય $9x^2 + 36y^2 = 324$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $S$ અને $S'$ છે. તો $SP + S'P$ ની કિંમત શોધો.

એક લંબગોળ જેના ગૌણ અને મુખ્ય અક્ષો યામ અક્ષોને સમાંતર છે,તે $(0,0)$,$(1,0)$ અને $(0,2)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું એક નાભિ $Y$-અક્ષ પર આવેલું છે. લંબગોળની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ધારો કે $E_1$ અને $E_2$ બે ઉપવલયો છે જેના કેન્દ્રો ઉગમબિંદુ પર છે. $E_1$ અને $E_2$ ની મુખ્ય અક્ષો અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $S$ એ વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ છે. રેખા $x+y=3$ એ વક્રો $S, E_1$ અને $E_2$ ને અનુક્રમે $P, Q$ અને $R$ બિંદુએ સ્પર્શે છે. ધારો કે $PQ=PR=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$. જો $e_1$ અને $e_2$ એ અનુક્રમે $E_1$ અને $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો સાચું/સાચા વિધાન/વિધાનો કયા છે:
$(A) e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$
$(B) e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$
$(C) |e_1^2-e_2^2|=\frac{5}{8}$
$(D) e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

જો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ઉપવલયમાં અંતર્ગત મહત્તમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ અનુક્રમે $8 \sqrt{2}$ અને $4 \sqrt{2}$ હોય,તો તે ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉપવલય $4x^2 + 9y^2 + 8x + 36y + 4 = 0$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.