$P$ એ ઉપવલય $9x^2 + 36y^2 = 324$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે,જેના નાભિઓ $S$ અને $S'$ છે. તો $SP + S'P$ ની કિંમત શોધો.

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ નો $2$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શતો હોય,તો $ab$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

જો $b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2$ ઉપવલયના નાભિલંબના એક અંત્યબિંદુએ દોરેલો અભિલંબ ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુમાંથી પસાર થતો હોય,જ્યાં $e$ એ ઉત્કેન્દ્રતા છે,તો:

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$, જ્યાં $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, આગળનો સ્પર્શક $x$-અક્ષને $T$ માં અને $y$-અક્ષને $T_1$ માં છેદે છે. તો $\min_{0 < \theta < \frac{\pi}{2}} (OT)(OT_1)$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) ની ઉત્કેન્દ્રતા $2/3$ છે,નાભિલંબની લંબાઈ $5$ છે અને કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે. તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

$100$ વ્યક્તિઓના સમૂહમાં $75$ અંગ્રેજી બોલે છે અને $40$ હિન્દી બોલે છે. દરેક વ્યક્તિ બેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક ભાષા બોલે છે. જો ફક્ત અંગ્રેજી બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $\alpha$ હોય અને ફક્ત હિન્દી બોલતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $\beta$ હોય,તો ઉપવલય $25(\beta^2 x^2 + \alpha^2 y^2) = \alpha^2 \beta^2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $.......$ છે.