वास्तविक रेखा R पर,हम दो फलनों f और g को इस प | vedclass

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Question

(C) माना ${x} = x - [x]$ है। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ और $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ है।ध्यान दें कि $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 -

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$200$

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(C) माना ${x} = x - [x]$ है। तब $f(x) = \min \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ और $g(x) = \max \{\{x\}, 1 - \{x\}\}$ है।ध्यान दें कि $g(x) - f(x) = |\{x\} - (1 - \{x\})| = |2\{x\} - 1|$ है।फलन $h(x) = g(x) - f(x) = |2\{x\} - 1|$ का आवर्तकाल $1$ है।हम एक आवर्तकाल $[0, 1]$ पर समाकलन की गणना करते हैं:$\int_0^1 |2\{x\} - 1| \, dx = \int_0^{1/2} (1 - 2x) \, dx + \int_{1/2}^1 (2x - 1) \, dx$$= [x - x^2]_0^{1/2} + [x^2 - x]_{1/2}^1$$= (1/2 - 1/4) + ((1 - 1) - (1/4 - 1/2)) = 1/4 + 1/4 = 1/2$.चूंकि फलन $1$ के आवर्तकाल के साथ आवर्ती है,इसलिए $\int_0^n h(x) \, dx = n \int_0^1 h(x) \, dx = n 	imes \frac{1}{2}$ होगा।दिया गया है कि $\int_0^n (g(x) - f(x)) \, dx = 100$,इसलिए $\frac{n}{2} = 100$,जिसका अर्थ है कि $n = 200$।

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यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $\int_{-2}^{2} (\sin |x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। तो $\beta \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[7]{\sin x}}{\sqrt[7]{\sin x}+\sqrt[7]{\cos x}} dx =$

समाकल $\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left\{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right\}^{1 / 2} d x$ का मान किसके बराबर है?

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