समाकल int_{-1 / 2}^{1 / 2}left{left(frac{x+1} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2} d x$.सर्वसमिका $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2

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$4 \log _{e}\left(\frac{4}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \sqrt{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2} d x$.सर्वसमिका $a^2 + b^2 - 2 = (a-b)^2$ का उपयोग करने पर, हमें $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ प्राप्त होता है।अतः, $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} \right| d x$.मापांक के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{x^2-1}$.इसलिए, $I = \int_{-1 / 2}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.चूंकि फलन सम है, $I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \left| \frac{4x}{x^2-1} \right| d x$.$x \in [0, 1/2]$ के लिए, $x^2-1 $I = 2 \int_{0}^{1 / 2} \frac{4x}{1-x^2} d x = 4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{2x}{1-x^2} d x$.माना $u = 1-x^2$, तो $du = -2x dx$.$I = 4 [-\ln|1-x^2|]_{0}^{1/2} = 4 [-\ln(3/4) + \ln(1)] = 4 \ln(4/3)$.

समाकल $\int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left\{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2}-2\right\}^{1 / 2} d x$ का मान किसके बराबर है?

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