અતિવલય frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 ના એક | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, b^2/a)$ અને $(ae, -b^2/a)$ છે.ધારો કે કેન્દ્ર $(0,0

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(A) અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(ae, b^2/a)$ અને $(ae, -b^2/a)$ છે.ધારો કે કેન્દ્ર $(0,0)$ આગળ નાભિલંબ દ્વારા બનતો ખૂણો $2	heta$ છે. તેથી $	an 	heta = \frac{b^2/a}{ae} = \frac{b^2}{a^2e}$.આપેલ છે કે $2	heta = 2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{3}{2}ight)$,તેથી $	an 	heta = \frac{3}{2}$.આમ,$\frac{b^2}{a^2e} = \frac{3}{2}$.$b^2 = 36$ આપેલ હોવાથી,$\frac{36}{a^2e} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a^2e = 24$.આપણે જાણીએ છીએ કે $b^2 = a^2(e^2 - 1)$,તેથી $36 = a^2e^2 - a^2$. $a^2e = 24$ હોવાથી,$a^2 = \frac{24}{e}$.$a^2$ ની કિંમત મૂકતા,$36 = (\frac{24}{e})e^2 - \frac{24}{e} \implies 36 = 24e - \frac{24}{e}$.$12$ વડે ભાગતા,$3 = 2e - \frac{2}{e} \implies 2e^2 - 3e - 2 = 0$.દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(2e+1)(e-2) = 0$. $e > 1$ હોવાથી,$e = 2$.તેથી $a^2 = \frac{24}{2} = 12$.અંતે,$\sqrt{a^2 + e^2} = \sqrt{12 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.

Similar Questions

જો અતિવલયની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $2 \sin \theta$ હોય અને તે ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ સાથે સમનાભિ હોય,તો તેનું સમીકરણ શોધો:

ધારો કે $\lambda x - 2y = \mu$ એ અતિવલય $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ નો સ્પર્શક છે. તો $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2} - \left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module