બિંદુ $O$ એ $\Delta ABC$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું છે. $\angle AOB, \angle BOC$ અને $\angle COA$ ના દ્વિભાજકો $\overline{AB}, \overline{BC}$ અને $\overline{CA}$ ને અનુક્રમે $D, E$ અને $F$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AD \times BE \times CF = DB \times EC \times FA$.

(A) $\Delta AOB$ માં,$OD$ એ $\angle AOB$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,ખૂણાની સામેની બાજુના રેખાખંડોનો ગુણોત્તર એ ત્રિકોણની અન્ય બે બાજુઓના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે.
તેથી,$\frac{AD}{DB} = \frac{OA}{OB}$.
તે જ રીતે,$\Delta BOC$ માં,$OE$ એ $\angle BOC$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે. તેથી,$\frac{BE}{EC} = \frac{OB}{OC}$.
$\Delta COA$ માં,$OF$ એ $\angle COA$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક છે. તેથી,$\frac{CF}{FA} = \frac{OC}{OA}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો ગુણાકાર કરતા:
$\frac{AD}{DB} \times \frac{BE}{EC} \times \frac{CF}{FA} = \frac{OA}{OB} \times \frac{OB}{OC} \times \frac{OC}{OA}$.
$\frac{AD \times BE \times CF}{DB \times EC \times FA} = 1$.
તેથી,$AD \times BE \times CF = DB \times EC \times FA$.