सिद्ध कीजिए कि $\tan ^{-1} \frac{63}{16}=\sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}$

माना कि $\sin ^{-1} \frac{5}{13} = x$.
तब,$\sin x = \frac{5}{13}$,जिसका अर्थ है कि $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
अतः,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12}$,इसलिए $x = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$.
इस प्रकार,$\sin ^{-1} \frac{5}{13} = \tan ^{-1} \frac{5}{12}$ $\ldots (1)$.
माना कि $\cos ^{-1} \frac{3}{5} = y$.
तब,$\cos y = \frac{3}{5}$,जिसका अर्थ है कि $\sin y = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.
अतः,$\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$,इसलिए $y = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
इस प्रकार,$\cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{4}{3}$ $\ldots (2)$.
अब,दायां पक्ष ($R$.$H$.$S$.) पर विचार करें:
$\sin ^{-1} \frac{5}{13} + \cos ^{-1} \frac{3}{5} = \tan ^{-1} \frac{5}{12} + \tan ^{-1} \frac{4}{3}$.
सूत्र $\tan ^{-1} a + \tan ^{-1} b = \tan ^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan ^{-1} (\frac{\frac{5}{12} + \frac{4}{3}}{1 - \frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}) = \tan ^{-1} (\frac{\frac{15+48}{36}}{1 - \frac{20}{36}}) = \tan ^{-1} (\frac{63/36}{16/36}) = \tan ^{-1} \frac{63}{16}$.
$= L.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध होती है।