सिद्ध कीजिए कि किसी भी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $8m + 1$ के रूप का होता है,जहाँ $m$ एक ऋणेतर पूर्णांक है।

माना कि $a$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $a$ को $a = 4q + r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ है।
चूँकि $a$ विषम है,इसलिए $r$ का मान $1$ या $3$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि $a = 4q + 1$ है,तो $a^2 = (4q + 1)^2 = 16q^2 + 8q + 1 = 8(2q^2 + q) + 1$। माना $m = 2q^2 + q$,तो $a^2 = 8m + 1$।
स्थिति $2$: यदि $a = 4q + 3$ है,तो $a^2 = (4q + 3)^2 = 16q^2 + 24q + 9 = 16q^2 + 24q + 8 + 1 = 8(2q^2 + 3q + 1) + 1$। माना $m = 2q^2 + 3q + 1$,तो $a^2 = 8m + 1$।
दोनों स्थितियों में,विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग $8m + 1$ के रूप का होता है।