સાબિત કરો કે $\Delta ABC$ માં,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,જ્યાં $a, b, c$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓના માપ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ને અનુક્રમે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ).
આપણી પાસે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ ની બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{b} = -\vec{c} \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$.
આમ,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$.
આ સદિશોના માન લેતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin(\pi - C) = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\pi - A) = |\vec{c}||\vec{a}| \sin(\pi - B)$.
કારણ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,આપણને મળે છે:
$ab \sin C = bc \sin A = ca \sin B$.
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{ab \sin C}{abc} = \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ca \sin B}{abc} \Rightarrow \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
તેથી,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.