सिद्ध कीजिए कि $\Delta ABC$ में,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,जहाँ $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं के परिमाण को दर्शाते हैं।

(A) माना त्रिभुज की तीन भुजाएँ $BC, CA$ और $AB$ क्रमशः सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निरूपित हैं (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)।
हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$।
दोनों पक्षों का $\vec{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\vec{a} \times (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c}) \Rightarrow \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{0} + \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इसी प्रकार,$\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ के दोनों पक्षों का $\vec{b}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{b} = -\vec{c} \times \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$।
अतः,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$।
इन सदिशों का परिमाण लेने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}|$।
क्रॉस गुणन की परिभाषा $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}| \sin \theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है:
$|\vec{a}||\vec{b}| \sin(\pi - C) = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(\pi - A) = |\vec{c}||\vec{a}| \sin(\pi - B)$।
चूंकि $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$ab \sin C = bc \sin A = ca \sin B$।
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{ab \sin C}{abc} = \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ca \sin B}{abc} \Rightarrow \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$।
अतः,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$।