सिद्ध कीजिए कि $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100$ द्वारा प्रदत्त फलन $R$ में वर्धमान है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100$ है।
यह जाँचने के लिए कि फलन वर्धमान है या नहीं,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x^{2} + 3x - 100)$
$f'(x) = 3x^{2} - 6x + 3$
व्यंजक से $3$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$f'(x) = 3(x^{2} - 2x + 1)$
पूर्ण वर्ग त्रिपद को पहचानने पर:
$f'(x) = 3(x - 1)^{2}$
चूँकि सभी $x \in R$ के लिए $(x - 1)^{2} \geq 0$ होता है,इसलिए $f'(x) = 3(x - 1)^{2} \geq 0$ होगा।
अतः,चूँकि अवकलज $f'(x)$ सभी $x \in R$ के लिए ऋणेतर है,इसलिए फलन $f(x)$,$R$ में एक वर्धमान फलन है।