સાબિત કરો કે $\sin ^{-1} \frac{12}{13}+\cos ^{-1} \frac{4}{5}+\tan ^{-1} \frac{63}{16}=\pi$

(A) ધારો કે $\sin ^{-1} \frac{12}{13}=x$,$\cos ^{-1} \frac{4}{5}=y$,અને $\tan ^{-1} \frac{63}{16}=z$.
તેથી $\sin x = \frac{12}{13}$,$\cos y = \frac{4}{5}$,અને $\tan z = \frac{63}{16}$.
આના પરથી,આપણને મળે છે $\cos x = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \frac{5}{13}$,$\sin y = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}$.
આમ,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$ અને $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
હવે,$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} = \frac{\frac{12}{5} + \frac{3}{4}}{1 - (\frac{12}{5} \times \frac{3}{4})} = \frac{\frac{48+15}{20}}{1 - \frac{36}{20}} = \frac{63/20}{-16/20} = -\frac{63}{16}$.
કારણ કે $\tan(x+y) = -\frac{63}{16}$ અને $\tan z = \frac{63}{16}$,તેથી $\tan(x+y) = -\tan z = \tan(\pi - z)$.
કારણ કે $x, y, z$ પ્રથમ ચરણમાં છે,તેથી $x+y+z = \pi$.