सिद्ध कीजिए कि $A \cup B = A \cap B$ का तात्पर्य $A = B$ है।

माना $x \in A$ है। चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$ होगा।
दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$,अतः $x \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$x \in A$ और $x \in B$ होगा।
अतः,$x \in B$,जिसका तात्पर्य है कि $A \subseteq B$ है।
इसी प्रकार,माना $y \in B$ है। चूँकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $y \in A \cup B$ होगा।
दिया गया है कि $A \cup B = A \cap B$,अतः $y \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,$y \in A$ और $y \in B$ होगा।
अतः,$y \in A$,जिसका तात्पर्य है कि $B \subseteq A$ है।
चूँकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$ है,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A = B$ है।