સાબિત કરો કે આપેલ નિશ્ચિત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસો પૈકી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે.

(N/A) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા આપેલ વર્તુળમાં $l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતો લંબચોરસ અંતર્ગત છે.
લંબચોરસનો વિકર્ણ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને તે વ્યાસ $2R$ જેટલો હોય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(2R)^{2} = l^{2} + b^{2}$
$\Rightarrow b^{2} = 4R^{2} - l^{2}$
$\Rightarrow b = \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ,$A = l \times b = l \sqrt{4R^{2} - l^{2}}$
ક્ષેત્રફળને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^{2}$ ને મહત્તમ કરીએ. ધારો કે $S = A^{2} = l^{2}(4R^{2} - l^{2}) = 4R^{2}l^{2} - l^{4}$.
$l$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dS}{dl} = 8R^{2}l - 4l^{3}$
$\frac{dS}{dl} = 0$ લેતા:
$4l(2R^{2} - l^{2}) = 0$
$l \neq 0$ હોવાથી,$l^{2} = 2R^{2} \Rightarrow l = R\sqrt{2}$.
હવે,$b = \sqrt{4R^{2} - (R\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{4R^{2} - 2R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$.
$l = b = R\sqrt{2}$ હોવાથી,લંબચોરસ એ ચોરસ છે.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટી:
$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12l^{2}$
$l^{2} = 2R^{2}$ આગળ,$\frac{d^{2}S}{dl^{2}} = 8R^{2} - 12(2R^{2}) = 8R^{2} - 24R^{2} = -16R^{2} < 0$.
દ્વિતીય વિકલિત ઋણ હોવાથી,જ્યારે $l = b = R\sqrt{2}$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.
આમ,સાબિત થાય છે કે આપેલ નિશ્ચિત વર્તુળમાં અંતર્ગત તમામ લંબચોરસો પૈકી,ચોરસનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય છે.