सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।

(N/A) माना एक वर्ग $ABCD$ है जिसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
$(i)$ यह सिद्ध करने के लिए कि विकर्ण बराबर हैं,अर्थात $AC = BD$:
$\Delta ABC$ और $\Delta BAD$ में:
$AB = BA$ [उभयनिष्ठ भुजा]
$BC = AD$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle ABC = \angle BAD = 90^{\circ}$ [वर्ग के सभी कोण $90^{\circ}$ होते हैं]
$\therefore \Delta ABC \cong \Delta BAD$ [$SAS$ कसौटी]
$\Rightarrow AC = BD$ ............. $(1)$
$(ii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है:
चूँकि $AD \parallel BC$ और $AC$ एक तिर्यक रेखा है,$\angle 1 = \angle 3$ [एकांतर अंतःकोण].
इसी प्रकार,$\angle 2 = \angle 4$ [एकांतर अंतःकोण].
$\Delta OAD$ और $\Delta OCB$ में:
$AD = CB$ [वर्ग $ABCD$ की सम्मुख भुजाएँ]
$\angle 1 = \angle 3$ [सिद्ध किया गया]
$\angle 2 = \angle 4$ [सिद्ध किया गया]
$\therefore \Delta OAD \cong \Delta OCB$ [$ASA$ कसौटी]
$\Rightarrow OA = OC$ और $OD = OB$
$\Rightarrow O$,$AC$ और $BD$ का मध्य-बिंदु है,अर्थात विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे को $O$ पर समद्विभाजित करते हैं। .......... $(2)$
$(iii)$ यह सिद्ध करने के लिए कि $AC \perp BD$:
$\Delta OBA$ और $\Delta ODA$ में:
$OB = OD$ [सिद्ध किया गया]
$BA = DA$ [वर्ग की सम्मुख भुजाएँ]
$OA = OA$ [उभयनिष्ठ]
$\therefore \Delta OBA \cong \Delta ODA$ [$SSS$ कसौटी]
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD$
चूँकि $\angle AOB$ और $\angle AOD$ रैखिक युग्म बनाते हैं,$\angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ}$.
$\Rightarrow \angle AOB = \angle AOD = 90^{\circ}$
$\Rightarrow AC \perp BD$ ............. $(3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ से,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।