सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ में $R = \{(a, b) : a \leq b\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है।
(N/A) वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $\mathbb{R}$ पर संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b\}$ दिया गया है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जानते हैं कि $a \leq a$ हमेशा सत्य है। इसलिए,सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(2, 4) \in R$ क्योंकि $2 \leq 4$ है। हालाँकि,$(4, 2) \notin R$ क्योंकि $4 \not\leq 2$ है। चूँकि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ होना आवश्यक नहीं है,इसलिए यह संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $a \leq b$ और $b \leq c$ है। असमिका के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,$a \leq c$ होता है। इसलिए,$(a, c) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $a \in \mathbb{R}$ के लिए,हम जानते हैं कि $a \leq a$ हमेशा सत्य है। इसलिए,सभी $a \in \mathbb{R}$ के लिए $(a, a) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: मान लीजिए $(2, 4) \in R$ क्योंकि $2 \leq 4$ है। हालाँकि,$(4, 2) \notin R$ क्योंकि $4 \not\leq 2$ है। चूँकि $(a, b) \in R$ होने पर $(b, a) \in R$ होना आवश्यक नहीं है,इसलिए यह संबंध सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: मान लीजिए $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है। इसका अर्थ है कि $a \leq b$ और $b \leq c$ है। असमिका के संक्रामक गुणधर्म के अनुसार,$a \leq c$ होता है। इसलिए,$(a, c) \in R$ है। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: संबंध $R$ स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है।
Explore More
Similar Questions
मान लीजिए $A$ एक समुच्चय है जिसमें $10$ अवयव हैं। $A$ से $A$ तक के उन अरिक्त संबंधों की संख्या जो स्वतुल्य हैं लेकिन सममित नहीं हैं,है
जाँच कीजिए कि क्या $\mathbb{R}$ में परिभाषित संबंध $R = \{(a, b) : a \leq b^3\}$ स्वतुल्य,सममित या संक्रामक है।
Medium
View Solutionमान लीजिए कि $L$ एक समतल में सभी रेखाओं का समुच्चय है और $R$,$L$ में परिभाषित एक संबंध है,$R = \{(L_{1}, L_{2}) : L_{1}, L_{2} \text{ पर लंब है}\}$। दर्शाइए कि $R$ सममित है लेकिन न तो स्वतुल्य है और न ही संक्रामक है।
Medium
View Solution$N \times N$ पर एक संबंध $R$ इस प्रकार परिभाषित है: $(x_1, y_1) R (x_2, y_2)$ यदि और केवल यदि $x_1 \leq x_2$ या $y_1 \leq y_2$ हो। दो कथनों पर विचार करें:
$(I)$ $R$ स्वतुल्य है लेकिन सममित नहीं है।
$(II)$ $R$ संक्रामक है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
$(I)$ $R$ स्वतुल्य है लेकिन सममित नहीं है।
$(II)$ $R$ संक्रामक है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
समुच्चय $A$ पर परिभाषित संबंध $R$ प्रतिसममित (antisymmetric) कहलाता है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य $a = b$ है,जहाँ $a, b \in A$। इस परिभाषा के आधार पर,संबंध $R$ प्रतिसममित है यदि $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ का तात्पर्य $a = b$ है,जो यह कहने के बराबर है कि यदि $a \neq b$ है,तो $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ दोनों का एक साथ सत्य होना संभव नहीं है। इसलिए,शर्त यह है कि $a \neq b$ के लिए,हमारे पास $(a, b) \in R$ और $(b, a) \in R$ दोनों नहीं हो सकते।
Medium
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo