સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & x \\ p+1 & p+1 & p+x \\ 3 & x+1 & x+2 \end{array} \right| = 0$ ના ઉકેલો શું છે?

જો $A = \begin{vmatrix} \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \alpha) & 1 \\ \sin(\theta + \beta) & \cos(\theta + \beta) & 1 \\ \sin(\theta + \gamma) & \cos(\theta + \gamma) & 1 \end{vmatrix}$ હોય,તો

સમીકરણ $\left| \begin{array}{ccc} 3 - x & -6 & 3 \\ -6 & 3 - x & 3 \\ 3 & 3 & -6 - x \end{array} \right| = 0$ નું એક બીજ છે

જો $\alpha \neq a, \beta \neq b, \gamma \neq c$ અને $\left|\begin{array}{lll}\alpha & b & c \\ a & \beta & c \\ a & b & \gamma\end{array}\right|=0$ હોય,તો $\frac{a}{\alpha-a}+\frac{b}{\beta-b}+\frac{\gamma}{\gamma-c}$ ની કિંમત શોધો:

જો $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ અને $(x_{3}, y_{3})$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય જેનું ક્ષેત્રફળ $k$ ચોરસ એકમ છે,તો $\left|\begin{array}{ccc}x_{1} & y_{1} & 4 \\ x_{2} & y_{2} & 4 \\ x_{3} & y_{3} & 4\end{array}\right|^{2}$ ની કિંમત શું થાય ($k^{2}$ માં)?

ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0$ ના વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $a, b, c \in R$ અને $a, b \neq 0$. જો $u, v, w$ માં આપેલ સમીકરણોની સંહતિ $\alpha u + \beta v + \gamma w = 0$,$\beta u + \gamma v + \alpha w = 0$,અને $\gamma u + \alpha v + \beta w = 0$ ને શૂન્યેતર ઉકેલ હોય,તો $\frac{a^{2}}{b}$ ની કિંમત શોધો.