वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$x + 2y + 1 = 0$
$2x - 3y - 12 = 0$

स्थान $A$ और $B$ एक राजमार्ग पर एक-दूसरे से $90\, km$ की दूरी पर हैं। एक कार $A$ से और दूसरी $B$ से एक ही समय पर चलना शुरू करती है। यदि वे एक ही दिशा में चलती हैं,तो वे $9$ घंटे में मिलती हैं और यदि वे विपरीत दिशाओं में चलती हैं,तो वे $\frac{9}{7}$ घंटे में मिलती हैं। कारों की गति ज्ञात कीजिए।

एक मोटर बोट $30 \, km$ धारा के प्रतिकूल और $28 \, km$ धारा के अनुकूल $7 \, \text{घंटे}$ में यात्रा कर सकती है। यह $21 \, km$ धारा के प्रतिकूल और वापस आने में $5 \, \text{घंटे}$ लेती है। स्थिर जल में नाव की गति और धारा की गति ज्ञात कीजिए (in $km/h$).

रैखिक समीकरणों के युग्म $x+y=2$ और $2x-y=1$ के हल को निरूपित करने वाले बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण लिखिए। हम ऐसी कितनी रेखाएँ ज्ञात कर सकते हैं?

दो संख्याएँ $5:6$ के अनुपात में हैं। यदि प्रत्येक संख्या में से $8$ घटाया जाए,तो अनुपात $4:5$ हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का एक ऐसा युग्म लिखिए जिसका अद्वितीय हल $x = -1, y = 3$ हो। आप ऐसे कितने युग्म लिख सकते हैं?