निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए:
$21x + 47y = 110$
$47x + 21y = 162$

एक दुकानदार एक साड़ी को $8 \%$ लाभ पर और एक स्वेटर को $10 \%$ छूट पर बेचता है,जिससे उसे $Rs. 1008$ प्राप्त होते हैं। यदि उसने साड़ी को $10 \%$ लाभ पर और स्वेटर को $8 \%$ छूट पर बेचा होता,तो उसे $Rs. 1028$ प्राप्त होते। साड़ी का क्रय मूल्य और स्वेटर का अंकित मूल्य (छूट से पहले की कीमत) ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।

$4$ पेन और $4$ पेंसिल बॉक्स की कीमत $Rs.\, 100$ है। पेन की कीमत का तीन गुना,पेंसिल बॉक्स की कीमत से $Rs.\, 15$ अधिक है। उपरोक्त स्थिति के लिए रैखिक समीकरणों का युग्म बनाइए। पेन और पेंसिल बॉक्स की कीमत ज्ञात कीजिए ($Rs.$ में)।

क्या निम्नलिखित समीकरण संपाती रेखाओं के एक युग्म को निरूपित करते हैं? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
$-2x - 3y = 1$
$6y + 4x = -2$

$k$ के किस मान के लिए निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
$kx + 3y - (k - 3) = 0$
$12x + ky - k = 0$

निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) किसी भी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए। एक भिन्न $\frac{1}{3}$ हो जाती है जब उसके अंश से $1$ घटाया जाता है और वह $\frac{1}{4}$ हो जाती है जब उसके हर में $8$ जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।