कथन-1: समीकरण x log x = 2 - x का कम से कम एक | vedclass

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Question

(A) माना $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.हम अंतराल $[1, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन $h(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$h(1) = 1

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कथन-$1$ सत्य है; कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(A) माना $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.हम अंतराल $[1, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन $h(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.चूंकि $\log(4) > 0$ (क्योंकि $4 > 1$),इसलिए $h(1)  0$ है।चूंकि $h(x)$ अंतराल $[1, 2]$ पर एक सतत फलन है,मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,कम से कम एक $c \in (1, 2)$ ऐसा विद्यमान है कि $h(c) = 0$,जिसका अर्थ है $f(c) = g(c)	ext{।}$ अतः,कथन-$1$ सत्य है।कथन-$2$ के लिए,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए,$f'(x) \geq 1 > 0$,इसलिए $f(x)$ वर्धमान फलन है। $g'(x) = -1  g(2)$ है,इसलिए ग्राफ $[1, 2]$ में प्रतिच्छेद करेंगे। अतः,कथन-$2$ सत्य है और यह कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण देता है।

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