श्रेणी C = 1 + frac{cos x}{1!} + frac{cos 2x} | vedclass

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Question

(C) सम्मिश्र श्रेणी $C + iS$ पर विचार करें:$C + iS = 1 + \frac{(\cos x + i\sin x)}{1!} + \frac{(\cos 2x + i\sin 2x)}{2!} + \frac{(\cos 3x + i\sin 3x)}

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$\exp[\exp(ix)]$

Vedclass · Answer

(C) सम्मिश्र श्रेणी $C + iS$ पर विचार करें:$C + iS = 1 + \frac{(\cos x + i\sin x)}{1!} + \frac{(\cos 2x + i\sin 2x)}{2!} + \frac{(\cos 3x + i\sin 3x)}{3!} + \dots$यूलर के सूत्र $e^{i	heta} = \cos 	heta + i\sin 	heta$ का उपयोग करते हुए:$C + iS = 1 + \frac{e^{ix}}{1!} + \frac{e^{i2x}}{2!} + \frac{e^{i3x}}{3!} + \dots$$C + iS = 1 + \frac{(e^{ix})}{1!} + \frac{(e^{ix})^2}{2!} + \frac{(e^{ix})^3}{3!} + \dots$यह घातांकीय श्रेणी $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$ का विस्तार है,जहाँ $z = e^{ix}$ है।अतः,$C + iS = e^{(e^{ix})} = \exp[\exp(ix)]$.

श्रेणी $C = 1 + \frac{\cos x}{1!} + \frac{\cos 2x}{2!} + \frac{\cos 3x}{3!} + \dots$ और $S = \frac{\sin x}{1!} + \frac{\sin 2x}{2!} + \frac{\sin 3x}{3!} + \dots$ का योग किसके बराबर है?

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