मान लीजिए कि एक सतत फलन f:(0, infty) rightarr | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि एक सतत फलन $f:[0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है। अवकलन के ल

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$e$

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(A) दिया गया है कि एक सतत फलन $f:[0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x) = 2 \int_0^x t f(t) d t + 1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है। अवकलन के लिए लाइबनीज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = 2x f(x)$। पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{f'(x)}{f(x)} = 2x$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \int 2x dx$। $\ln |f(x)| = x^2 + C$। $f(x) = K e^{x^2}$,जहाँ $K = e^C$ है। $K$ का मान ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=0$ रखने पर: $f(0) = 2 \int_0^0 t f(t) dt + 1 = 0 + 1 = 1$। $f(x) = K e^{x^2}$ में $x=0$ रखने पर,हमें $f(0) = K e^0 = K$ प्राप्त होता है। अतः,$K = 1$,जिससे हमें $f(x) = e^{x^2}$ प्राप्त होता है। अंत में,$f(1) = e^{(1)^2} = e^1 = e$।

मान लीजिए कि एक सतत फलन $f:(0, \infty) \rightarrow R$ समीकरण $f(x)=2 \int_0^x t f(t) d t+1, \forall x \geq 0$ को संतुष्ट करता है। तो,$f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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