दस छात्र एक दौड़ में भाग ले रहे हैं। प्रथम $3$ पुरस्कार कितने तरीकों से जीते जा सकते हैं?

Rs. $100$ के $4$ नोट और Rs. $1$,Rs. $2$,Rs. $5$,Rs. $20$ और Rs. $50$ के $5$ अन्य नोट हैं। इन नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित किया जाना है कि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक Rs. $100$ का नोट मिले। वितरण के कुल तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यदि ${}^n{P_4} : {}^n{P_5} = 1 : 2$ है,तो $n = $

मान लीजिए कि एक गोलाकार स्टेडियम की सीमा पर समान ऊंचाई के $20$ स्तंभ खड़े किए गए हैं। यदि प्रत्येक स्तंभ के शीर्ष को उसके सभी गैर-आसन्न (non-adjacent) स्तंभों के शीर्ष से बीम द्वारा जोड़ा जाता है,तो बीम की कुल संख्या क्या है?

एक निश्चित परीक्षा में,${a_i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, 3, ..., k$ है। किसी भी छात्र ने $k$ से अधिक गलत उत्तर नहीं दिए। दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या है:

एक परीक्षा में $6$ बहुविकल्पीय प्रश्न हैं। यदि पहले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $4$ विकल्प हैं और अगले तीन प्रश्नों में से प्रत्येक के $5$ विकल्प हैं,तो उत्तरों के कितने अनुक्रम संभव हैं?