અતિવલય $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ ના સ્પર્શક કે જે રેખા $4x+3y=7$ ને લંબ છે,તેના $X$ અને $Y$ અંત:ખંડો અનુક્રમે છે

ધારો કે એક ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ ના નાભિઓ અને નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $(\pm 5, 0)$ અને $\sqrt{50}$ છે. તો અતિવલય $\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2b^2}=1$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વર્ગ કેટલો થાય?

અતિવલય (hyperbola) ની અનુપ્રસ્થ અક્ષ (transverse axis) $x$-અક્ષ પર છે અને તેની લંબાઈ $2a$ છે. અતિવલયનું શિરોબિંદુ (vertex), કેન્દ્ર અને નાભિ (focus) ને જોડતા રેખાખંડને દુભાગે છે. તો અતિવલયનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે અતિવલય $H$ ના નાભિઓ ઉપવલય $E: \frac{(x-1)^2}{100}+\frac{(y-1)^2}{75}=1$ ના નાભિઓ સાથે સંપાતી છે અને અતિવલય $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતા એ ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો વ્યસ્ત છે. જો $H$ ની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $\alpha$ હોય અને તેની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $\beta$ હોય,તો $3 \alpha^2+2 \beta^2$ ની કિંમત શોધો:

જો $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય અને $\frac{x^2}{c-12}+\frac{y^2}{7-c}=1$ એ અતિવલય (hyperbola) દર્શાવતું હોય,તો

જો $L_1=0$ અને $L_2=0$ એ અતિવલય $9x^2-4y^2+36x+8y-4=0$ ના અનંતસ્પર્શકો હોય,તો બિંદુ $(1,1)$ થી રેખાઓ $L_1=0$ અને $L_2=0$ ના લંબ અંતરનો ગુણાકાર કેટલો થાય?