બિંદુ $P$ માંથી વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $2 \alpha$ છે. બિંદુ $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $Q$ એ વર્તુળ $B: x^2+y^2=a^2$ પરનું એક બિંદુ છે અને $P(h, k)$ એ એક નિશ્ચિત બિંદુ છે. જો $P$ અને $Q$ ને જોડતા રેખાખંડનું $p: q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતા બિંદુનો બિંદુપથ એક વર્તુળ $C$ હોય,તો $C$ નું કેન્દ્ર શું હશે?

એક રેખાખંડ $AM = a$ એ $XOY$ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી $AM$ એ $X$-અક્ષને સમાંતર રહે. જો $A$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર ગતિ કરતું હોય,તો $M$ નો બિંદુપથ શું હશે?

ધારો કે $\Gamma$ એ $AB$ વ્યાસ અને $O$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $l$ એ $B$ આગળ $\Gamma$ નો સ્પર્શક છે. $\Gamma$ પરના $A$ થી ભિન્ન દરેક બિંદુ $M$ માટે,$M$ આગળનો સ્પર્શક $t$ ધ્યાનમાં લો અને તે $l$ ને $P$ માં છેદે છે તેમ ધારો. $P$ માંથી પસાર થતી અને $AB$ ને સમાંતર રેખા દોરો જે $OM$ ને $Q$ માં છેદે છે. જેમ $M$ એ $\Gamma$ પર બદલાય છે તેમ $Q$ નો બિંદુપથ શું છે?

એક વર્તુળ બિંદુ $(3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે. તેના કેન્દ્રનો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે. જો આ સીધી રેખાનું ઉગમબિંદુથી અંતર $25$ હોય,તો $a^2$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો એક ચલ બિંદુ $P$ થી એક નિશ્ચિત બિંદુ $A(a, 0)$ સુધીનું અંતર,$P$ થી રેખા $x+y=0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?