वक्रों y = x log x और y = 2x - 2x^2 द्वारा पर | vedclass

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Question

(D) वक्रों $y = x \log x$ और $y = 2x - 2x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $x \

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$\frac{7}{12}$

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(D) वक्रों $y = x \log x$ और $y = 2x - 2x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं: $x \log x = 2x - 2x^2$. $x > 0$ के लिए,$x$ से भाग देने पर: $\log x = 2 - 2x$,जिसका अर्थ है $\log x + 2x - 2 = 0$. निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक हल है क्योंकि $\log(1) + 2(1) - 2 = 0 + 2 - 2 = 0$. अंतराल $x \in (0, 1]$ के लिए,वक्र $y = 2x - 2x^2$,$y = x \log x$ के ऊपर स्थित है। क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2 - x \log x) dx$. समाकलन करने पर: $\int_{0}^{1} 2x dx = [x^2]_{0}^{1} = 1$. $\int_{0}^{1} 2x^2 dx = [\frac{2}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$. खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int x \log x dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}$. $0$ से $1$ तक सीमाएं लेने पर: $[\frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4}]_{0}^{1} = (0 - \frac{1}{4}) - (0) = -\frac{1}{4}$. अतः,$A = 1 - \frac{2}{3} - (-\frac{1}{4}) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{12 - 8 + 3}{12} = \frac{7}{12}$.

वक्रों $y = x \log x$ और $y = 2x - 2x^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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