વક્ર ay^2 = x^2(a - x), (a 0) ના લૂપ દ્વારા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વક્ર $ay^2 = x^2(a - x)$ છે,જ્યાં $a > 0$.વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.સમીક

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{8}{15} a^2$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વક્ર $ay^2 = x^2(a - x)$ છે,જ્યાં $a > 0$.વક્ર $x$-અક્ષની સાપેક્ષ સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.સમીકરણ પરથી,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,તેથી $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$.લૂપ $x \in [0, a]$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$ધારો કે $a - x = t^2$,તો $dx = -2t \, dt$. જ્યારે $x = 0, t = \sqrt{a}$ અને જ્યારે $x = a, t = 0$.$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$.આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

વક્ર $ay^2 = x^2(a - x), (a > 0)$ ના લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

Similar Questions

વક્ર $y=x^{3}$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$x-$ અક્ષની ઉપર અને $x^{2}+y^{2}=8x$ વર્તુળ તથા $y^{2}=4x$ પરવલયની અંદર આવતા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module