वक्र y=x^4-x^2, x-अक्ष और वक्र के दो न्यूनतम | vedclass

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Question

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - x^2$ है। न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$. इससे $x = 0$

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$\frac{7}{30 \sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया वक्र $y = x^4 - x^2$ है। न्यूनतम बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम अवकलन करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 4x^3 - 2x = 2x(2x^2 - 1) = 0$. इससे $x = 0$ और $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है। द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए, $y'' = 12x^2 - 2$. $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ पर, $y'' = 12(\frac{1}{2}) - 2 = 4 > 0$, इसलिए ये न्यूनतम बिंदु हैं। क्षेत्रफल $\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} |x^4 - x^2| dx$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि फलन सम है, क्षेत्रफल $2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} -(x^4 - x^2) dx$ होगा (क्योंकि इस अंतराल में $x^4 - x^2 क्षेत्रफल $= 2 \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} (x^2 - x^4) dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$. $= 2 \left( \frac{1}{3(2\sqrt{2})} - \frac{1}{5(4\sqrt{2})} \right) = 2 \left( \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{20\sqrt{2}} \right)$. $= 2 \left( \frac{10 - 3}{60\sqrt{2}} \right) = 2 \left( \frac{7}{60\sqrt{2}} \right) = \frac{7}{30\sqrt{2}}$.

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