$(1, 2, 0)$,$(1, 0, a)$ અને $(0, 3, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ હોય,તો '$a$' ની કિંમતો શોધો.

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ ત્રણ સદિશો છે કે જેથી $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,$|\vec{b}|=5$,$\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે. જો $\vec{a}$ એ સદિશ $\vec{b} \times \vec{c}$ ને લંબ હોય,તો $|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})|$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$, જ્યાં $\lambda \in \mathbb{Z}$, બે સદિશો છે. ધારો કે $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{d}$ એ $yz$-સમતલમાં $2$ માન ધરાવતો સદિશ છે. જો $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ હોય, તો $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત કેટલી થાય?

જો $a = 2i + 2j - k$ અને $b = 6i - 3j + 2k$ હોય,તો $a \times b$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma}$ ત્રણ એકમ સદિશો છે જેથી $\hat{\alpha} \times (\hat{\beta} \times \hat{\gamma}) = \frac{1}{2}(\hat{\beta} + \hat{\gamma})$ થાય. જો $\hat{\beta}$ એ $\hat{\gamma}$ ને સમાંતર ન હોય, તો $\hat{\alpha}$ અને $\hat{\beta}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $\overline{OA} = \vec{a}$,$\overline{OB} = 10\vec{a} + 2\vec{b}$,અને $\overline{OC} = \vec{b}$,જ્યાં $O, A, C$ અસમરેખ છે. ધારો કે $p$ એ ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે અને $q$ એ સામસામેની બાજુઓ $OA$ અને $OC$ વાળા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. તો $p/q = \dots$