क्षेत्र { (x, y) : x^2 + y^2 le 1 le x + y } | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के आंतरिक भाग और रेखा $x + y = 1$ के ऊपर के भाग द्वारा परिभाषित है।सबसे पहले,हम वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और रेखा $x

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$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

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(D) यह क्षेत्र वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के आंतरिक भाग और रेखा $x + y = 1$ के ऊपर के भाग द्वारा परिभाषित है।सबसे पहले,हम वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ और रेखा $x + y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:वृत्त के समीकरण में $y = 1 - x$ रखने पर:$x^2 + (1 - x)^2 = 1$$x^2 + 1 + x^2 - 2x = 1$$2x^2 - 2x = 0$$2x(x - 1) = 0$इससे $x = 0$ और $x = 1$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$ है,तो $y = 1$ है। जब $x = 1$ है,तो $y = 0$ है।अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = 1$ तक वृत्त के चाप के नीचे के क्षेत्रफल में से रेखा के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\sqrt{1 - x^2} - (1 - x)) \, dx$$= \left[ \frac{x\sqrt{1 - x^2}}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(x) - x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$$= \left( \frac{1 \cdot 0}{2} + \frac{1}{2} \sin^{-1}(1) - 1 + \frac{1}{2} \right) - (0 + 0 - 0 + 0)$$= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$.

क्षेत्र $\{ (x, y) : x^2 + y^2 \le 1 \le x + y \}$ का क्षेत्रफल क्या है?

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