જેના વિકર્ણો $\frac{3}{2}i + \frac{1}{2}j - k$ અને $2i - 6j + 8k$ હોય તેવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}$ એ બે સમતલોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાને સમાંતર એક શૂન્યતર સદિશ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને અનુક્રમે $(\hat{i}+\hat{j}, \hat{i}+\hat{k})$ અને $(\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k})$ સદિશો ધરાવે છે. જો $\theta$ એ સદિશ $\vec{a}$ અને સદિશ $\vec{b}=2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=6$ હોય,તો ક્રમયુક્ત જોડ $(\theta, |\vec{a} \times \vec{b}|)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ હોય,તો $|\vec{u} \times \vec{v}| = ......$

જો $\vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ હોય,તો $|\vec{a} \times \vec{b}|$ શોધો.

સદિશ $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ એ $(2, 3, -1)$ અને $(1, -1, 2)$ સદિશો ધરાવતા સમતલ સાથે $\cot^{-1} \sqrt{2}$ જેટલો લઘુકોણ બનાવે છે. તો,

ધારો કે $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}=12 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}$,અને $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{b}$,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે. જો $S$ એ $\overrightarrow{OA}$ અને $\overrightarrow{OC}$ પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતું સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોય,તો ચતુષ્કોણ $OABC$ નું ક્ષેત્રફળ અને $S$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.