क्षेत्र {(x, y) : 0 le y le 6 - x, y^2 ge 4x | vedclass

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Question

(B) वक्र $y = 6-x$ और $y^2 = 4x-3$ हैं। सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x +

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$9$

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(B) वक्र $y = 6-x$ और $y^2 = 4x-3$ हैं। सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $(6-x)^2 = 4x-3 \implies 36 - 12x + x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 16x + 39 = 0$. गुणनखंड करने पर $(x-3)(x-13) = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $x=3$ या $x=13$ है। $x=3$ पर, $y=3$ है। यह क्षेत्र $x=0$, $y=6-x$, और $y^2=4x-3$ द्वारा घिरा हुआ है। क्षेत्रफल $\int_0^3 (6-x) dx - \int_{3/4}^3 2\sqrt{x-3/4} dx$ द्वारा दिया जाता है। पहले समाकलन का मान: $[6x - x^2/2]_0^3 = 18 - 4.5 = 13.5$. दूसरे समाकलन का मान: $\int_{3/4}^3 2(x-3/4)^{1/2} dx = [2 \cdot \frac{2}{3} (x-3/4)^{3/2}]_{3/4}^3 = \frac{4}{3} (3-0.75)^{3/2} = \frac{4}{3} (2.25)^{3/2} = \frac{4}{3} (3.375) = 4.5$. कुल क्षेत्रफल $= 13.5 - 4.5 = 9$.

क्षेत्र $\{(x, y) : 0 \le y \le 6 - x, y^2 \ge 4x - 3, x \ge 0\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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वक्र $y = \begin{cases} x^2, & x < 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ और रेखा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल है

क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq y \leq x^{2}+1, 0 \leq y \leq x+1, \frac{1}{2} \leq x \leq 2\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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