वक्र f(x) = sin(pi x) और X-अक्ष द्वारा x in [ | vedclass

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Question

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[1, 3]$ पर फलन के मापांक का समाकलन है।$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.चूंकि $\sin(\pi x)$,$x = 2$ पर अपना चिह्न बदलता

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$\frac{4}{\pi}$

Vedclass · Answer

(D) क्षेत्रफल $A$ अंतराल $[1, 3]$ पर फलन के मापांक का समाकलन है।$A = \int_{1}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.चूंकि $\sin(\pi x)$,$x = 2$ पर अपना चिह्न बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:$A = \int_{1}^{2} |\sin(\pi x)| \, dx + \int_{2}^{3} |\sin(\pi x)| \, dx$.अंतराल $[1, 2]$ में,$\sin(\pi x) \leq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = -\sin(\pi x)$.अंतराल $[2, 3]$ में,$\sin(\pi x) \geq 0$ है,इसलिए $|\sin(\pi x)| = \sin(\pi x)$.$A = \int_{1}^{2} -\sin(\pi x) \, dx + \int_{2}^{3} \sin(\pi x) \, dx$.समाकलन का मान ज्ञात करने पर:$A = \left[ \frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{1}^{2} + \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{2}^{3}$.$A = \frac{1}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(\pi)) - \frac{1}{\pi} (\cos(3\pi) - \cos(2\pi))$.$A = \frac{1}{\pi} (1 - (-1)) - \frac{1}{\pi} (-1 - 1) = \frac{2}{\pi} + \frac{2}{\pi} = \frac{4}{\pi}$.अतः,सही विकल्प $D$ है।

वक्र $f(x) = \sin(\pi x)$ और $X$-अक्ष द्वारा $x \in [1, 3]$ के लिए घिरे हुए क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

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